상미분방정식의 미분형식 (differential form)

상미분방정식의 미분형식 (differential form)

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[미분방정식의 표현1]

y를 1계 상미방의 종속변수라고 가정한다면, 미분 dy는 dy=y'dx로 정의해야 함을 배웠다.

미분 dx로 양변을 나누거나 곱해서 어떤 미분방정식의 형식을 다르게 나타낼 수 있다. 

 

예1)

방정식 (y-x)dx+4dxdy=0의 다른 형식은 4x(dy/dx)+y=x

 

예2)

방정식 6xy(dy/dx)+x^2+y^2=0의 다른 형식은 (x^2+y^2)dx+6xydy

 

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[미분방정식의 표현2]

기호 하나의 종속변수(y)를 갖는 n계 상미방은

로 표현할 수 있다. ...(*)

 

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F는 (n+2)개의 변수 

의 함수이다. (실수 함수)

 

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[정규형 (normal form)] (또는 표준형)

가장 높은 계수인 도함수 

을 나머지 (n+1)개의 변수로 유일하게 표현할 수 있다. (아래 수식)

이를 (*)의 정규형이라고 한다. 

 

 

..........정규형 예시..............

1계 상미방: 

2계 상미방: 

.............................................

 

 

......상미방 정규형 예제......

도함수 dy/dx에 대해 풀면, 1계미방

의 정규형은

이다. 앗 오타.. 저기 n=1임. 

 

 

도함수 y''에 대해 풀면, 2계미방

의 정규형은

이다.

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