수학/미분방정식

아래와 같이 완전미분방정식과 풀이법을 공부했었다. 2021.04.05 - [수학/미분방정식] - 완전미분방정식 (exact differential equation) | 깔끔하게 푸는 방법 완전미분방정식 (exact differential equation) | 깔끔하게 푸는 방법 완전미분방정식을 깔끔하게! 천천히! 알아보자. 시작하기 전에 읽어보아야 할 것 간단한 형태의 미분방정식인 ydx+xdy=0은 일단 분리가능하고 선형이다. (그냥 방정식의 형태를 파악해준 것이다.) splendidlolli.tistory.com 이번 이야기는 '완미방 아닌 것을 완미방으로 만들기'이다. 지난번에 이야기 했듯, M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 형태의 미분방정식이라고 해서 이것이 완전미분방정식이라고는 단정할 수 없다..

완전미분방정식을 깔끔하게! 천천히! 알아보자. 시작하기 전에 읽어보아야 할 것 간단한 형태의 미분방정식인 ydx+xdy=0은 일단 분리가능하고 선형이다. (그냥 방정식의 형태를 파악해준 것이다.) 이 방정식의 좌변을 잘 보면, 즉, ydx+xdy는 f(x,y)=xy의 미분형태이다! (전미분한 결과이다) 이 말을 조금 음미해보자. "좌변인 ydx+xdy는 f(x,y)=xy를 미분한 형태이다." 이것과 연관해서 오늘 포스팅에서 배울 것은 뭐냐면, 미분형태 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0으로 표현된 1계미분방정식을 학습할 것이다 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0는 어떠한 f(x,y)의 미분 결과일 수 있다. 만약 어떠한 f(x,y)의 미분형태가 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0이 맞다면, M(x,y)d..

오차함수의 필요성 통계학, 공학, 응용편미분방정식 등에서 매우 중요한 함수가 오차함수이다. 정규 분포와 관련이 되어있다. 또한 그러한 중요성 때문에 오차함수는 광범위하게 표로 만들어진다. (아직 나는 활용을 안 해봐서 정확히는 모르겠다. 그렇다고 한다.) 형태 ㅡ 오차함수는 비기본적인 함수의 적분의 형태로 정의된다. ㅡ 오차함수와 여오차함수는 적분구간의 범위가 다르다. 오차함수 (error function, erf) 여오차함수 (complementary error function, erfc) ㅡ 다음과 같은 방정식으로도 나타낼 수 있다. 아래의 항등식을 만족한다. (이유: 적분구간의 성질) 즉, 로부터 이다. . . . 미분방정식의 해를 오차함수의 항들로 이루어지도록 나타내기도 한다. 컴퓨터 대수 체계에..

특이점이란? 1계 선형 미분방정식을 풀 경우 : 선행계수가 1이 아닌 이상, 미분방정식을 표준형으로 바꾸기 위해서는 선행계수 a1(x)로 나누어야 한다. (무슨 소리인지 모르겠는 사람은 이 게시글을 보시오!) 미분방정식 | 1계 선형 미분방정식과 풀이법 | 해 구하기 | "적분 인자"란? 일반적인 선형 상미분방정식은 일반적인 해법이 존재하지 않는다. 풀이가 매번 다르다. 하지만 1차 선형 상미분방정식은 '일반적 해법'이 존재한다. 1차 선형 상미분방정식을 풀어내기 위해 이 ' splendidlolli.tistory.com 아무튼, 이 과정에서! 선행계수 a1(x)=0이 되는 x의 값이 존재할 수도 있다. 이때 x값을 특이점(singualr point)라고 한다. 어떤 미분방정식의 해를 구할 때, 이 특이..

일반적인 선형 상미분방정식은 일반적인 해법이 존재하지 않는다. 풀이가 매번 다르다. 하지만 1차 선형 상미분방정식은 '일반적 해법'이 존재한다. 1차 선형 상미분방정식을 풀어내기 위해 이 '일반적 해법'만 익히면 문제 없을 것이다. 포스팅을 끝까지 읽으면 어느새 1차 선형 미방 풀이의 고수가 되어있을 것.. 먼저 1계 선형 미분방정식의 형태에 대한 이야기를 시작하겠다. 1계 선형 미분방정식 "형태" 여기서 알아야 할 것은 표준형이 어떤 형태인가이다. (1계 선형 미방을 풀기 위해서는 표준형을 잘 알아둬야 한다!) 표준형으로 바꿔주기 보통 알고있는 1차 선형방정식 형태에는 dy/dx의 계수 a1(x)가 붙어있다. 이 선형계수가 1이 아니라면 양변을 선형계수로 나눠서 dy/dx의 계수가 1이 되도록 만들어준..

먼저 알고 가야할 것: 변수분리미분방정식 splendidlolli.tistory.com/275 1계 변수분리형 미분방정식 | 일반해와 예제 하나 변수분리형 미분방정식 (seperable equations, SE) "equation이 seperable하다, equation이 seperable valuation을 가진다"라고도 표현한다. 변수분리형 미분방정식은 '두 개의 변수'를 가지고 있다. x와 y라고.. splendidlolli.tistory.com 변수분리 미분방정식을 푸는 방법 변수 분리 미분방정식을 풀 때 (즉 해를 구하는 과정에서) 흔히 적분이 이용된다. 이것을 보면 왜 적분이 이용되는지 이해가 바로 갈 것이다. >> 이 얘기는 그냥 간단히.. dy/dx=g(x)라는 방정식을 양변 적분한 건데,..

배경지식: 변수분리형 미분방정식 splendidlolli.tistory.com/275 1계 변수분리형 미분방정식 | 일반해와 예제 하나 변수분리형 미분방정식 (seperable equations, SE) "equation이 seperable하다, equation이 seperable valuation을 가진다"라고도 표현한다. 변수분리형 미분방정식은 '두 개의 변수'를 가지고 있다. x와 y라고.. splendidlolli.tistory.com 변수 분리를 할 때에는 주의해야 한다. 아래 내용을 읽어보자. 특이해 즉 이러한 특이해는, 일반해에 어떤 초기조건을 대입하더라도 얻을 수 없는 해다. 임의상수 C가 결정짓지 못한다. 결론: 특이해는 "해를 구하는 과정에서 잃어버릴 수 있으니" 주의하자. 특이해가 존..

변수분리형 미분방정식 (seperable equations, SE) "equation이 seperable하다, equation이 seperable valuation을 가진다"라고도 표현한다. 변수분리형 미분방정식은 '두 개의 변수'를 가지고 있다. x와 y라고 하자. x식과 y식이 섞여있는 상태일텐데, 이 식을 적절히 분리하여 같은 변수를 가진 식을 같은 항으로 만들어줄 수 있다. 이렇게 변수분리 할 수 있는 미분방정식을 '변수분리형 미분방정식'이라고 한다. 즉, dy/dx = g(x)h(x) 위와 같은 형태의 1계 미분방정식은 분리가능하다 (seperable). 혹은 변수분리가능하다 (seperable variables). 미분방정식이 주어지면, 그것이 변수분리형 미방인지 확인해본 뒤, 변수분리가 가능..

배경지식으로 아래 내용이 필요하다. splendidlolli.tistory.com/259 미분방정식 | 초기값문제란? 들어가며: 미분방정식의 목적은 해(함수)를 구하는 것인데, 이때 초기조건을 이용하여 일반해의 임의상수 C를 구해낼 수 있다. 이렇게 초기조건을 이용하여 어떤 구간에서 정의된 함수인 특수해 splendidlolli.tistory.com 위 포스팅에서 다루었던 초기값 문제에 대하여 두개의 물음이 제기된다. 1) 존재성: 이 문제의 해가 존재하는가? 2) 유일성: 존재할 경우 그 해는 유일한가? 즉, 이러한 이야기다. 1) 미분방정식이 해를 갖는가? 해곡선이 점 (x0, y0)를 지나가는가? 2) 점 (x0, y0)를 지나는 해곡선이 유일하게 존재한다고 확신하는가? 언제 확신하는가? 참고) 교..

들어가며: 미분방정식의 목적은 해(함수)를 구하는 것인데, 이때 초기조건을 이용하여 일반해의 임의상수 C를 구해낼 수 있다. 이렇게 초기조건을 이용하여 어떤 구간에서 정의된 함수인 특수해를 찾아내는 것이 초기값 문제를 푸는 것이다. 혹시 미분방정식의 기초가 필요하신 분은 아래 포스팅을 슉슉 읽고 오셨으면 한다! splendidlolli.tistory.com/258 미분방정식의 기본,기초 이해하기 참고: 이 포스팅에서는 상미분방정식만 다룬다. 미분방정식(differential equation, DE) 정의 > 하나 또는 둘 이상의 독립변수에 대해, 하나 또는 그 이상의 미지의 함수(또는 종속변수)의 도함수를 포함 splendidlolli.tistory.com 초기값 문제란? 어떤 미분방정식을 초기조건을 이..