1계 변수분리형 미분방정식 | 일반해와 예제 하나

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변수분리형 미분방정식 (seperable equations, SE)

 

"equation이 seperable하다, equation이 seperable valuation을 가진다"라고도 표현한다.

 

 

변수분리형 미분방정식은 '두 개의 변수'를 가지고 있다. x와 y라고 하자.

x식과 y식이 섞여있는 상태일텐데, 이 식을 적절히 분리하여 같은 변수를 가진 식을 같은 항으로 만들어줄 수 있다. 이렇게 변수분리 할 수 있는 미분방정식을 '변수분리형 미분방정식'이라고 한다. 

 

즉,

dy/dx = g(x)h(x)

위와 같은 형태의 1계 미분방정식은 분리가능하다 (seperable).

혹은 변수분리가능하다 (seperable variables).

 

 

미분방정식이 주어지면, 그것이 변수분리형 미방인지 확인해본 뒤, 변수분리가 가능하다면 변수분리하여 풀면 된다. 

 

 

분리불가능 예) dy/dx = y+sin(x)

분리불가능 이유) x의 함수와 y의 함수의 곱으로 분해할 방법이 없다

 

 

 

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1계 변수분리형 미분방정식의 일반해

 

일단 변수분리형 미방은 다음과 같은 과정으로 일반해를 구해낼 수 있다.

그냥.. 변수를 한쪽으로 몰고 나서 적분 등의 과정을 통해 일반해를 구하는 것이다. 

 

 

그리고 문제에서 초기조건을 주었다면, 그것을 이용해서 임의상수를 구해내면 되겠지.

 

 

 

 

 

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예제로 익히기

 

간단한 예제를 하나 풀어보자. 

변수분리형 미분방정식의 해를 구하는 간단한 예제.

 

미분방정식 : (1+x)dy -ydx =0

초기조건: y(0) =2

 

 

이제 초기조건을 이용하여 임의 상수를 구해주면

미분방정식의 해를 찾을 수 있다. 

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사실 변수분리를 할 때에는 주의해야 할 점이 있다.

다음 포스팅에서 소개하겠다. 

 

splendidlolli.tistory.com/276

1계 변수분리형 미분방정식 | 특이해와 예제 하나