미분방정식의 기본,기초 이해하기

참고: 이 포스팅에서는 상미분방정식만 다룬다.

미분방정식(differential equation, DE) 정의

> 하나 또는 둘 이상의 독립변수에 대해, 하나 또는 그 이상의 미지의 함수(또는 종속변수)의 도함수를 포함하는 방정식

 

 

 

배경지식1 미분식의 표기법

 

- 라이프니츠식 표기법:

독립변수와 종속변수가 명확한 장점이 있다.

 

- 프라임 표기법:

3계까지만 프라임으로 표현하고 4계부터는 위첨자 (4),(5)따위로 표현한다.

 

 

 

배경지식2 상미방의 미분형식 (differential form)

 

splendidlolli.tistory.com/257

상미분방정식의 미분형식 (differential form)

 

 

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미분방정식의 분류

: 형태, 계수, 선형성으로 분류 가능하다. (type, order, linearity)

 

 

1. 형태에 의한 분류

형태에 따라 상미분방정식, 편미분방정식으로 분류가능하다.

 

이 포스팅에서는 상미분방정식만 다룰 것이다.

상미분방정식은 독립변수를 하나만 가지고, 편미분방정식은 독립변수를 두 개 이상 가진다.

 

 

상미분방정식 (ordinary DE)

하나의 독립변수에 대해 하나 또는 그 이상의 미지의 함수(또는 종속변수)의 상도함수만을 포함하는 방정식

 

 

상미분방정식의 예를 들어보자. (하나의 독립변수를 가진다)

 

......................................................

 

하나의 독립변수x | (종속변수 y)

........................................................

 

하나의 독립변수x | (종속변수 y)

........................................................

 

하나의 독립변수t | (종속변수 x,y)

.......................................................

 

 

2. 계수에 의한 분류

미분방정식의 계수: 방정식에서 가장 높은 도함수의 계수

1계, 2계, ..., n계 미분방정식

 

(참고: 1계 상미방은 종종 미분형식 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0으로 쓰이기도 한다.)

 

 

 

3. 선형성에 의한 분류

ㅡ 함수 F가 

에 대해 선형이면 n계 선형 상미분방정식이다. 

 

ㅡ n계 상미분방정식

이 

로 표현될 때, n계 선형 상미분방정식이라 부른다.

 

 

*가장 중요하고 특별한 경우는 1계선형, 2계선형이다.

 

 

   선형 상미방의 특징

 

- 종속변수 y와 모든 도함수의 차수는 1이다. (각 항의 지수가 1이다.)

 

- y, y', y'', ..., y^(n)의 계수 a0, a1, ..., an은 기껏해야 독립변수 x에만 좌우된다.

 

 

선형 상미방의 예시를 들어보자. 

 

비선형 상미방의 예시와 그 이유를 알아보자.