미분방정식 | 초기값문제란?

---

들어가며:

미분방정식의 목적은 해(함수)를 구하는 것인데, 이때 초기조건을 이용하여 일반해의 임의상수 C를 구해낼 수 있다. 이렇게 초기조건을 이용하여 어떤 구간에서 정의된 함수인 특수해를 찾아내는 것이 초기값 문제를 푸는 것이다. 

 

 

혹시 미분방정식의 기초가 필요하신 분은 아래 포스팅을 슉슉 읽고 오셨으면 한다!

splendidlolli.tistory.com/258

미분방정식의 기본,기초 이해하기

 

 

 

---

초기값 문제란?

어떤 미분방정식을 초기조건을 이용하여 해를 구하는 것을 (n계) 초기값 문제라고 한다. 

 

 

 

n계 초기값 문제의 해를 구하는 방법

 

ㅇ미방에서 n개의 매개변수를 가지는 해의 집합족을 구한다. 

ㅇ초기 조건을 이용하여 해 집합족의 n개 상수를 구한다. 

ㅇ이렇게 얻어진 특수해는 "x0를 포함하는 어떤 구간 I" 위에서 정의된 함수이다.

 

 

---

1계 초기값 문제의 해석

 

다음과 같이 1계 미분방정식과 초기조건이 주어져있다.

목적: x0를 포함하는 구간 I에서 정의된 미방 y'=f(x,y)의 해 y(x)를 구하는 것

 

초기조건에 따라서, 해 y(x)의 그래프는 명시된 점 (x0, y0)를 지난다. 

 

해곡선 예)

 

 

2계 초기값 문제의 해석

다음과 같이 2계 미분방정식과 초기조건이 주어져있다.

목적: x0를 포함하는 구간 I에서 정의된 미방 y''=f(x,y,y')의 해 y(x)를 구하는 것

 

초기조건에 따라서, 해 y(x)의 그래프는 명시된 점 (x0, y0)를 지난다.

초기조건에 따라서, 이 점에서 곡선의 기울기는 y1이 되어야 한다. 

 

---

그러나,

 

오늘 다룬 초기값 문제에 대하여 두개의 물음이 제기된다. 

1) 존재성: 이 문제의 해가 존재하는가?

2) 유일성: 존재할 경우 그 해는 유일한가?

 

 

이러한 존재성과 유일성에 대한 이야기를 다음 포스팅에서 다루겠다. 

splendidlolli.tistory.com/260?category=930362

미분방정식 | 1계 초기값 문제 | 존재성과 유일성