미분방정식 | 1계 초기값 문제 | 존재성과 유일성

배경지식으로 아래 내용이 필요하다. 

splendidlolli.tistory.com/259

미분방정식 | 초기값문제란?

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위 포스팅에서 다루었던 초기값 문제에 대하여 두개의 물음이 제기된다. 

1) 존재성: 이 문제의 해가 존재하는가?

2) 유일성: 존재할 경우 그 해는 유일한가? 

 

 

 

 

즉, 이러한 이야기다. 

 

1) 미분방정식이 해를 갖는가? 해곡선이 점 (x0, y0)를 지나가는가?

2) 점 (x0, y0)를 지나는 해곡선이 유일하게 존재한다고 확신하는가? 언제 확신하는가?

 

 

 

참고) 교과목에서 배우는 미분방정식들 말고, 대부분의 미분방정식들은 해가 존재하지 않는 경우나 해가 유일하지 않은 경우가 많다. 그래서 해의 존재하는지와 유일한 해인지를 아는 것이 중요하다. 

 

 

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1계 초기값 문제를 풀 때,

간편하게 존재성과 유일성을 확인할 수 있는 방법이 있다!

 

 

>> 1계 초기값 문제의 해에 대한 존재성과 유일성을 보장해주는 널리 알려진 정리 <<

 

즉, 어떤 미분방정식의 유일한 y가 x0 근방에 존재한다는 것이다. 

 

위 내용을 그래프로 확인하면 아래와 같다.

 

**주의할 점:

정리의 가정성립(연속성)이 되지 않으면, 해의 존재성과 유일성은 보장되지 않는다. 어떻게 될 지 모른다는 것이다.