완전미분방정식 (exact differential equation) | 깔끔하게 푸는 방법

완전미분방정식을 깔끔하게! 천천히! 알아보자.

 

 

시작하기 전에 읽어보아야 할 것

 

간단한 형태의 미분방정식인 ydx+xdy=0은 일단 분리가능하고 선형이다.

(그냥 방정식의 형태를 파악해준 것이다.)

이 방정식의 좌변을 잘 보면,

즉, ydx+xdy는 f(x,y)=xy의 미분형태이다! (전미분한 결과이다)

 

 

이 말을 조금 음미해보자.

 

"좌변인 ydx+xdy는 f(x,y)=xy를 미분한 형태이다."

 

 

이것과 연관해서 오늘 포스팅에서 배울 것은 뭐냐면,

미분형태 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0으로 표현된 1계미분방정식을 학습할 것이다

 

 

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0는 어떠한 f(x,y)의 미분 결과일 수 있다.

만약 어떠한 f(x,y)의 미분형태가 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0이 맞다면,

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0를 적분함을 통해 f(x,y)를 구해낼 수 있다.

 

 

만약에 그러한 f(x,y)가 존재한다면 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0라는 방정식을 "완전방정식"이라고 부른다.

아래에서 '완전방정식'의 정의를 정리하고 가자.

 

 

완전방정식의 정의

 

 

 

그렇다면 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0가 어떠한 f(x,y)의 미분결과인지 아닌지를 판정하는 방법이 있을까?

즉, M(x,y)dx+N(x,y)dy=0가 완전방정식임을 판정하는 방법이 있을까? 

 

있다! 알고싶으면 꼭 포스팅을 천천히 읽어보길 바란다.. 어렵지 않다!

 

 

 

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방금 바로 위에서,

 

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0가 어떠한 f(x,y)의 미분결과인지 아닌지를

즉, 완전방정식인지 아닌지를 판정하는 방법을 알아보자고 했다.

 

 

 

한번 더 예제를 가지고 설명하겠다. (이해를 돕기 위해)

 

1. 미분표현 (2x-5y)dx+(-5x+3y^2)dy는 일단 (x^2-5xy+y^3)를 미분한 결과이다.

 

2. 만약에 이것을 쉽게 알 수 있다면, 미분방정식 (2x-5y)dx+(-5x+3y^2)dy=0의 해(음함수해)는 "x^2-5xy+y^3=c"임을 단번에 알 수 있을것이다. (단, c는 상수)

 

3. 그렇다면 (2x-5y)dx+(-5x+3y^2)dy가 어떤 함수를 미분한 결과라는 것을 판정하는 방법은 무엇일까?

즉, (2x-5y)dx+(-5x+3y^2)dy=0이 완전방정식임을 알 수 있는 방법은 무엇일까?

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결과부터 말하면 다음과 같다. 

 

완전미분 판별법

이 판별법에 대한 증명은 다른 포스팅에서 다루겠다.

 

이 완전미분 판별법에 대하여 다시 위 미분방정식 (2x-5y)dx+(-5x+3y^2)dy=0을 적용해 설명한다면,

 

M(x,y) = 2x-5y

N(x,y) = -5x+3y^2

 

이므로, 미분방정식 (2x-5y)dx+(-5x+3y^2)dy=0는 완전미분방정식이다.

 

참고: M의 y에대한 편미분을 저렇게 작은 아래첨자로도 나타낸다.

N의 x에대한 편미분도 마찬가지. 

 

 

 

다시 말해서, 미분방정식 (2x-5y)dx+(-5x+3y^2)dy=0은 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0형태이지만, 이런 형태의 모든 1계 미분방정식이 f(x,y)=c의 미분꼴에 해당하는 것은 아니므로(즉 완전방정식은 아니므로), 저 판정법을 사용하여 완전방정식인지 판정해야 한다는 얘기였다.

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자.. 이렇게 어떠한 미분방정식이 완전미분방정식임을 알아냈다면

 

아, 그 미분방정식은 어떤 f(x,y)=c를 미분한 형태구나~를 판정한 것이기 때문에,

 

그 미분방정식의 적분을 통하여 미분방정식의 해인 f(x,y)=c를 알아낼 수 있다. 

 

 

 

정리하면,

1. 미분방정식이 완전방정식임을 '판정법'을 통해 판정한다.

2. 완전방정식이 맞으면 미방을 적분한다. 

3. 그럼 해를 얻는다.

 

 

2번에서 미방을 적분하자고 했는데, 음..

 

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0를 적분해서 f(x,y)를 얻으려면 어떻게 해야 할까? 

 

 

1) 일단 y를 상수로 취급하여 M(x,y)를 x에 대해 적분하여 f를 구한다.

아래 식에서 g(y)는 임의의 상수다.

 

2) 위 식을 다시 'y에 대해 미분' 한다. 즉, f를 y에 대해 편미분한다.

위에서 배웠듯이, f를 y에 대해 편미분한 결과는 N(x,y)다.

여기서 M(x,y)와 N(x,y)를 알고 있으므로, g'(y)를 바로 찾아낼 수 있다.

 

 

 

 

암기할 필요 없다! 풀이 중 자연스럽게 과정을 거치게 될 것임. 

 

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총정리 예제

 

위에서 배운 것들을 모두 적용하여 다음의 미분방정식을 풀어보자.