[미분방정식] 완전미분방정식 | 적분인자를 곱하여 완미방으로 만들기

아래와 같이 완전미분방정식과 풀이법을 공부했었다. 

2021.04.05 - [수학/미분방정식] - 완전미분방정식 (exact differential equation) | 깔끔하게 푸는 방법

완전미분방정식 (exact differential equation) | 깔끔하게 푸는 방법

 

이번 이야기는 '완미방 아닌 것을 완미방으로 만들기'이다. 

 

지난번에 이야기 했듯, 

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 형태의 미분방정식이라고 해서 이것이 완전미분방정식이라고는 단정할 수 없다. 그렇기 때문에 판별법을 사용해서 완미방인지 아닌지를 판정해주어야 했던 것이다.

 

그런데, 완전미분방정식이 아닌 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0을 완전미분방정식으로 바꿀 수 있다. 오늘 할 이야기가 이것이다. 결론 먼저 말하자만 적절한 적분 인자를 곱하여 완미방으로 바꿀 수 있다.

 

 

   "적절한 적분인자를 곱하면 완미방이 된다"

적절한 적분인자를 곱하면 완미방이 된다는 것은 무슨 말이냐 하면, 

즉, 미분방정식이 완전미분방정식의 조건을 만족하게끔 어떤 적분인자 μ를 양변에 곱해주겠다는 말이다. 그럼 이 적분인자 μ를 찾는 방법을 또 알아야겠지?

 

 

   "적분인자 μ를 찾아보자"

다 도출된 결론 먼저 말하자면, 적분인자 μ는 다음 둘 중 하나의 형태로 나타난다. 왜 이런 형태로 나타나는지는 그 다음에 설명할 내용을 읽어보면 알 수 있다. 

 

일단 알고 가야 할 것은: 모든 미분방정식을 완미방으로 바꾸기 쉬운 것이 아니다. 문제를 직접 풀 때, 적절한 적분인자를 찾기 어려운 경우가 많다. 그래서 교재에 나와 있는 문제들은 다음과 같은 조건을 달고 적분 인자를 구하는 문제를 출제하고 있다. 

 

 

ㅡ 일반적인 미분방정식 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0에서

미분방정식의 양변에 곱해지는 적분인자가 다변수함수가 아니라 하나의 변수에만 종속되는 일변수함수인 경우만 보겠다는 이야기이다.

일단 그냥 슥 읽고 넘어가도 된다. 어차피 바로 아래에서 다시 다룰 내용들이다.

 

 

 

자 그럼 다시 

이게 어떻게 도출되는 것인지 확인해보자!

 

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미분방정식 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0와

완전미분방정식 μM(x,y)dx+μN(x,y)dy=0에 대하여

 

적분인자 μ(x,y)가 x에만 종속되는 일변수함수인 경우만 본다. 그러면,

- μ의 x에 대한 편미분 = dμ/dx = x에 대한 식

- μ의 y에 대한 편미분 = 0

이다. 이때, 완전미분방정식은

위 식을 만족하므로, 결과적으로 아래의 오른쪽 등식을 만족한다. 

(M_y-N_x)/N이 일변수함수일 때, 오른쪽 등식은 μ에 대한 1계 상미분방정식이며, 선형방정식이며, 변수분리형이다. 그렇다면 지금까지 배웠던 내용에 따라 μ를 결정 가능하겠다. (아래 더보기 내용)

 

자세한 포스팅: https://splendidlolli.tistory.com/279?category=1014221 

미분방정식 | 1계 선형 미분방정식과 풀이법 | 해 구하기 | "적분 인자"란?

 

 

 

간단히 짚어보자. 아래의 식에서 (M_y-N_x)/N = P(x)라고 하면, 

μ는 다음과 같다. 

 

그래서 아래의 1번 식을 얻을 수 있었다.

그런데 왜 두가지 형태로 나오느냐: 미분방정식 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0에 따라서 (M_y-N_x)/N과 (N_x-M_y)/M 둘 중 하나만 일변수함수일 수도 있다. 그래서 둘중에 일변수함수인 경우를 선택해서 진행하면 된다.

 

 

 

   "예제로 확인해보기"

예제를 보면 이해를 빠르게 도울 수 있다. 

 

 

더보기: 그냥.. 위에서 만들어진 완미방의 풀이다. 

 

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학과 내용을 복습할 겸 포스팅을 하고 있다.

짧은 식견으로 그저 배우는 내용을 포스팅하는 것이라서..

혹시 잘못되거나 부족한 내용 있으면.. 교정 부탁드립니다!! >_<